Дисциплина «Линейная алгебра» (ИСиТ)

Рабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" читать

Настоящая дисциплина относится к циклу математических и естественнонаучных дисциплин и является базовой для специализации направления 38.03.05 – «Информационные системы в бизнесе».
Изучается в 1 семестре на 1 курсе при очной форме обучения и в 1 семестре на 1 курсе при заочной форме обучения.

Объектом, изучаемым в дисциплине, являются различные объекты линейной природы, к которым можно отнести линейные уравнения, пространства, отображения.

Предметом, изучаемым в дисциплине, является теория линейных уравнений, теория определителей, теория матриц, теория векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (квадратичных)

Целью курса «Линейная алгебра» является приобретение студентами  твердых навыков решения математических задач с доведением до практически приемлемого результата и развить на этой базе логическое и алгоритмическое мышление; выработать первичные навыки математического исследования прикладных вопросов и развить необходимую интуицию в вопросах приложения математики; дать студентам базовые математические знания по линейной алгебре, необходимые для понимания математических методов и современных компьютерных технологий в экономике  и других математических дисциплин.

Задачи дисциплины:
  • реализация требований, установленных Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по специальности «линейная алгебра»;
  • развитие у студентов научного, логического и алгоритмического мышления, повышение общекультурного уровня студентов, вооружение знаниями, позволяющими моделировать реальные экономические процессы и освоение приемов и методов их исследования;
  • теоретическое освоение студентами современных концепций и моделей
  • математики; приобретение практических навыков применения аппарата
  • математики в экономике.
Контрольные вопросы для самоподготовки:
  1. Матрица и ее виды – треугольная, диагональная, трапециевидная.
  2. Матрица и ее виды – единичная, нулевая, транспонированная
  3. Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. Примеры.
  4. Матрица и ее виды - симметричная, кососимметричная, клеточная
  5. Транспонирование матриц. Свойства
  6. Сложение и вычитание матриц. Свойства
  7. Умножение матрицы на число.  Свойства
  8. Умножение матриц. Свойства
  9. Сопряжение матриц. Свойства
  10. Доказать, что (А + В)С = АС + ВС
  11. Доказать, что А(ВС) = (АВ)С
  12. Доказать, что (АВ)Т= ВТАТ 
  13. Доказать, что ААТ =I
  14. Доказать, что AA-1 =I
  15. Доказать, что A-1(A-1)T= I
  16. Доказать теорему о взаимной матрице
  17. Доказать теорему о единственности обратной матрицы
  18. Доказать теорему Крамера
  19. Доказать эквивалентности метода обратной матрицы и формул Крамера
  20. Приведение матриц к ступенчатому виду методом Гаусса. Пример.
  21. Элементарные преобразования над строками матрицы.
  22. Ранг матрицы.
  23. Ранг матрицы. Определение ранга матрицы методом окаймляющих миноров.
  24. Ранг матрицы. Определение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
  25. Степень матрицы, многочлены от матрицы
  26. Определитель матрицы. Его порядок.
  27. Понятие определителя применительно к матрицам второго и третьего порядков.
  28. Свойства определителя
  29. Доказательство одного из свойств определителя (из доказанных на лекции)
  30. Определение  базисных строк и столбцов матрицы.
  31. Определение  элементарных преобразований над строками матрицы
  32. Свойства элементарных преобразований над строками матрицы (3 свойства )
  33. Минор элемента и алгебраическое дополнение
  34. Разложение определителя по строке или столбцу
  35. Какую матрицу называют обратной? Условие ее существования.
  36. Обратная матрица. Методы ее расчета
  37. Вычисление определителя с использованием метода Гаусса.
  38. Построение обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений и методом Гаусса.
  39. Система m линейных уравнений с n неизвестными. Векторно-матричная форма записи. Расширенная матрица системы. Пример.
  40. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
  41. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений матричным методом.
  42. Нахождение решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
  43. Однородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение? Пример.
  44. Неоднородные системы уравнений. В каком случае они имеют единственное решение? Пример.
  45. Решение однородной системы методом Гаусса. Пример.
  46. Решение неоднородной системы методом Гаусса. Пример.
  47. Однородные системы и их свойства. Эквивалентные системы.
  48. Свободные и несвободные переменные однородной системы. Частное и общее решение. Пример.
  49. Совместные системы уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Пример.
  50. Доказать, что если ранг матрицы коэффициентов равен числу неизвестных, то система АХ=0  имеет единственное (тривиальное) решение.
  51. Доказать, что для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.
  52. Доказать, что однородная система n уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы был равен нулю.
  53. Доказать, что для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо, чтобы число уравнений системы было меньше числа неизвестных.
  54. Вектор решения линейной системы уравнений. Общее и частное решение неоднородной системы уравнений. Основные свойства решений.
  55. Несовместная и совместная, определенная и неопределенная системы уравнений.
  56. Частное  и общее решение системы. Равносильные системы.
  57. Элементарные преобразования системы линейных уравнений  (3 свойства )
  58. Определение  базисных и свободных переменных, фундаментальной совокупности решений,  частного и общего решения неоднородной системы.
  59. Формулировка теоремы о числе решений
  60. Собственное число и собственный столбец матрицы
  61. Характеристический многочлен матрицы
  62. Свойства собственных чисел матрицы
  63. Показать, что пространство матриц является линейным пространством
  64. Теорема о связи собственных чисел и корнях характеристического многочлена
  65. Линейные пространства, их свойства.
  66. Базис и размерность линейного пространства. Разложение вектора по базису.
  67. Линейные операторы, их свойства и матричная запись. Ядро, образ оператора.
  68. Действия над линейными операторами.
  69. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.
  70. Определение квадратичных форм. Положительно и отрицательно определенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра.
  71. Основные теоремы о квадратичных формах.
  72. Матричные уравнения и их решения.
  73. Алгоритм метода  Жордана-Гаусса, общее, частное, базисное решение; система,  приведенная к единичному базису, базисные и свободные неизвестные.
  74. Понятие п-мерного вектора. Линейные операции над п-мерными векторами.
  75. Понятие линейной комбинации п-мерных векторов. Линейно зависимые и линейно независимые векторы.
Список методических указаний:
  1. Проект методических указаний. Практикум по линейной алгебре. Расчетные задания (для студентов дневной и заочной форм обучения направленияподготовки 38.03.05 «Бизнес информатика, 09.03.02 «Информационные системы и технологии», 27.03.04 «Управление в транспортных системах»)
Список рекомендуемой литературы:
  1. Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: справ. пособие к решению задач. – Мн: ТетраСистемс, 2008. – 2 экз.
  2. Чарін В.С. Лінійна алгебра. – К.: Техніка, 2005. – 6 экз.
  3. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 5 экз.
  4. Малугин В.А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. – М.: Изд-во ЭКСМО, 2006. – 12 экз.
Электронные образовательные ресурсы:
  1. Босс В. Лекции по математике. Т. 1 : Линейная алгебра : учеб. пособие / В. Босс. – М. : Ком Книга, 2005. – 224 с.– 1 файл. – Систем. требования: Acrobat Reader.
  2. Ефимов Н. В. Линейная алгебра и многомерная геометрия : учеб. для вузов / Н. В. Ефимов, Э. Р. Розендорн. – 3-е изд. , стер. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 464 с. – 1 файл. – Систем. требования: Acrobat Reader.
  3. Тыртышников Е. Е. Матричный анализ и линейная алгебра / Е. Е. Тыртышников. – М., 2004-2005. – 372 с. – 1 файл. – Систем. требования: Acrobat Reader.
  4. Малугин В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра : курс лекций / В. А. Малугин. – М. : Эксмо, 2006. – 224 с. – 1 файл. – Систем. требования: Acrobat Reader.
  5. Канатников А. Н. Линейная алгебра : учеб. для вузов / А. Н. Канатников , А. П. Крищенко ; под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. – Изд. 3-е, стер. – М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002. – 336 с. – 1 файл. – Систем. требования: Acrobat Reader.
К изучению дисциплины предлагается следующий список рекомендуемой литературы:
  1. Ильин В., Позняк Э. Линейная алгебра. М:ФИЗМАТЛИТ, 2010 г.
  2. Кострикин А.И. Введение в алгебру в 3 частях. Линейная алгебра. Часть 2. М: Издательство: МЦНМО, 2012.
  3. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие /Автор: Геворкян П.С.: М: Издательство: ФИЗМАТЛИТ, 2011 г. (ЭБС «КнигаФонд»)
  4. Кремер Н. Ш. Путко Б. А.  Высшая математика  для экономических специальностей. М.: Высшее образование, 2010. (ЭБС «КнигаФонд»)
  5. Кремер Н. Ш. и др. Высшая математика для экономистов ЮНИТИ Москва 2014 (ЭБС «КнигаФонд»)